La matematica del GPS
Ovvero, ecco perchè è importante studiare i sistemi di equazioni

Sfogliando il numero di 17 (ottobre 2009) di XlaTangente potrete avventurarvi tra i segreti del GPS grazie ad un articolo dei nostri cugini francesi di Tangente. Leggendolo ci si rende conto che il Global Positioning System è molto di più che il navigatore satellitare delle automobili! Per i più curiosi siamo ora scesi un po’ più nei dettagli della matematica del GPS…

Il sistema di navigazione satellitare NAVSTAR-GPS, che è stato creato dal Ministero della Difesa Americano negli anni ’70 per scopi militari e successivamente anche civili, non è unico! Vi sono altri sistemi di questo tipo ad esempio il GLONASS russo oppure il GALILEO europeo che si sta sviluppando proprio in questi anni. Tutti prevedono la messa in orbita di una costellazione di satelliti attorno alla Terra che permettono di localizzare appositi ricevitori posti in un qualsiasi punto del globo terracqueo. La costellazione GPS completata nel 1994 contava inizialmente 24 satelliti ed è stata progettata in modo tale che da un qualunque punto del globo siano “visibili” sopra l’orizzonte almeno quattro di essi. Ma perché proprio quattro? E come funziona questo sistema?

L’idea di base del sistema GPS è quella di calcolare la distanza tra un ricevitore ed un certo numero di satelliti per localizzare precisamente la posizione in cui l’utilizzatore del congegno si trova. Per calcolare le distanze fra il punto di cui si vuole determinare la posizione ed i satelliti che vengono presi in considerazione, il sistema GPS misura il tempo che le onde radio emesse da ciascun satellite impiegano per raggiungere il punto in questione. Le onde elettromagnetiche si muovono alla velocità della luce ovvero a circa 300 000 km al secondo. Basta quindi che il ricevitore, dotato di un proprio orologio, misuri l’intervallo di tempo che trascorre tra la ricezione e l’emissione del segnale: a questo punto, sapendo che spazio = tempo x velocità, il gioco è fatto! O quasi…

Di quanti satelliti abbiamo bisogno per localizzare il ricevitore? Pensiamo innanzitutto in due dimensioni: come solitamente fanno i matematici, ci riportiamo prima di tutto ad una situazione più semplice. Ogni satellite, di posizione nota, individua una circonferenza che passa per il punto che vogliamo localizzare. Prendiamo un secondo satellite e ripetiamo la costruzione. Le due circonferenze si intersecano, ma individuano due punti: uno è quello in cui si trova il ricevitore e l’altro è da escludere. Abbiamo bisogno almeno di una terza circonferenza (escludendo le posizioni speciali) e quindi di un terzo satellite per ridurre il numero di intersezioni a uno! Nel caso a due dimensioni abbiamo quindi tre circonferenze centrate in tre satelliti di cui conosciamo le posizioni.

Nel caso a tre dimensioni (quello ‘reale’) abbiamo invece bisogno di almeno 4 satelliti ovvero 4 ‘sfere’per determinare la posizione del punto in cui si trova il ricevitore!

Ma le difficoltà non sono finite: le ‘sfere d’azione’ dei quattro satelliti hanno centro di coordinate note ma raggio sconosciuto perché purtroppo nella realtà non è sufficiente calcolare il raggio utilizzando la formula spazio=velocità x tempo. Ciò perché il tempo calcolato dal ricevitore è soggetto ad un errore (più precisamente ad una somma di errori di origini diverse). Oltre a trovare i raggi delle quattro circonferenze è necessario quindi determinare un fattore di correzione temporale. Per comprendere l’importanza di correggere il dato temporale basti pensare che, se consideriamo un satellite posto proprio “sopra” il punto che vogliamo localizzare, il segnale emesso impiega solo qualche centesimo di secondo per raggiungere il ricevitore, ovvero un tempo normalmente confrontabile con gli errori in gioco.

Vediamo più nei dettagli come schematizzare il calcolo: il ricevitore riceve dal segnale la posizione dei satelliti e calcola il tempo ‘sbagliato’. Le coordinate dei satelliti sono espresse relativamente ad un sistema di assi cartesiani che ha come origine il centro della terra; gli assi X e Y sono disposti nel piano dell’equatore, il primo orientato verso il meridiano di Greenwich ed il secondo a 90° gradi verso est. Infine l’asse Z è disposto lungo l’asse polare.