L'indivisibile matematica

La Matematica è, secondo me, un tutto indivisibile, un organismo la cui vitalità è condizionata dalla connessione tra le sue parti.

David Hilbert (al Congresso Internazionale dei Matematici, a Parigi, dal 6 al 12 agosto 1900)
 

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L'anima della scuola

Ho trovato molto interessante la possibilità di interagire - mentre facevo la guida alla mostra "MaTeinItaly" - con un pubblico vasto: dal bambino di terza elementare pieno di curiosità e stupore al ragazzo delle scuole superiori che acquista una maggiore consapevolezza della ricchezza matematica, passando per l’età un po’ ribelle delle scuole medie nella quale non è semplice catturare l’attenzione dei ragazzi. In realtà, al di là degli stereotipi, è impossibile generalizzare, perché ogni classe è diversa dalla precedente e questo ha reso ogni visita diversa dalle altre, quindi è stato impossibile annoiarsi.

Ho osservato che la partecipazione della classe era tanto maggiore quanto più grande era la passione del professore e fortunatamente ci sono tanti professori veramente innamorati del loro lavoro e attenti ai ragazzi. D’altro canto, purtroppo, non mancano professori annoiati e indifferenti, al punto da parlare al telefono dentro la mostra, e i loro ragazzi si dimostrano generalmente disinteressati e a volte maleducati.

Federica Citterio
 

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A proposito di linee

E alla fine sono rimasto stregato da quella linea laggiù, in lontananza.
Era talmente semplice: un’enorme striscia azzurra sopra un’enorme striscia dorata di prateria, e quella linea tranquilla, interminabile, tra cielo e terra.
Per me guardare l’orizzonte significava cogliere l’essenza profonda della libertà.
Ho sempre avuto una passione per le forme, fin da ragazzo, e quella semplice linea bastava a dire tanto di questa terra.

Frank Lloyd Wright  secondo Nancy Horan (2007)
 

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L'apparenza inganna... anche in matematica

I Sileni erano un tempo dei piccoli vasi, come noi ne vediamo oggi nei negozi degli speziali, dipinti all'esterno con figure allegre e scherzose [...] inventate a piacere per eccitare la gente al riso. Ma all'interno si conservavano degli ingredienti rari [...]. Alcibiade diceva che così era Socrate: infatti, a guardarlo dal di fuori non lo avreste valutato una pelle di cipolla [...]. Ma se aveste aperto quel vaso vi avreste trovato dentro un ingrediente celeste e senza prezzo.

François Rabelais, Gargantua e Pantagruel.
 

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Rischio inutile o rischio accettabile

Non chiediamo alle statistiche di cancellare la paura che ci prende dopo un disastro aereo con 150 morti, ma riconosciamo che la statistica è esattamente quello che ci permette di distinguere tra rischio inutile e rischio accettabile. Altrimenti non potremmo vivere, non potremmo far nulla, paralizzati dalla paura.

Anonimo.
 

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La matematica come Virgilio

If you are receptive and humble, mathematics will lead you by the hand. Again and again, when I have been at a loss how to proceed, I have just had to wait until I have felt the mathematics lead me by the hand. It has led me along an unexpected path, a path where new vistas open up, a path leading to new territory, where one can set up a base of operations, from which one can survey the surroundings and plan future progress.

(Se siete ricettivi e umili, la matematica vi condurrà prendendovi per mano. Molto spesso, quando mi sentivo perso perché non sapevo come procedere, ho solo dovuto aspettare fino a quando ho sentito che era la matematica a prendermi per mano. Mi ha così guidato lungo un percorso inaspettato, un percorso in cui si intravedono nuove prospettive, un sentiero che conduce a nuovi territori, dove si può impostare una serie di operazioni, da cui è possibile guardarsi intorno e pianificare uno sviluppo futuro).

Paul Dirac, 27 Novembre 1975.
 

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Ieri e oggi

Ciò che oggi può dimostrarsi,
una volta fu solo immaginato.

William Blake, Proverbi Infernali.
 

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Sai una cosa nonno?…

Era raro che a quei tempi una ragazza studiasse matematica: si era nel 1922 o ’23 quando la mamma si iscrisse all’Università di Bologna, famosa oltre che per la letteratura anche per le facoltà scientifiche: c’era alla cattedra di «analisi matematica» un famigerato professor Pincherle, di cui ho sentito spesso raccontare la severità, soprattutto con le allieve che considerava delle stravaganti velleitarie. La tua Adelia, fragile e timida solo in apparenza, l’ha affrontato e ha superato felicemente l’esame. Il fatto è che la mamma amava la matematica, l’aveva nel suo DNA, come si direbbe oggi, ed era felice in quello studio. Io invece l’ho sempre sentita come una punizione. Ti farà sorridere sapere che, come tu facevi per lei i compiti di italiano, lei faceva per me quelli di matematica. Il dispiacere più grande che le abbiamo dato noi tre figli è che nessuno abbia studiato quella scienza che lei considerava alla base della realtà naturale. E aveva ragione.

Laura Mancinelli, Un misurato esercizio di cattiveria, Einaudi, 2005 p. 107.
 

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Pensieri di una Medaglia Fields

"L’interazione con il prossimo, per il matematico come per chiunque, è un modo di conservare la sanità mentale".

"La forza della matematica sta nel derivare il proprio nutrimento non da una singola fonte, ma da molteplici fonti: a volte esterne, a volte interne, a volte in risposta a eventi straordinari, altre volte come riflesso di processi propri".

"La nostra (di matematici) unica ragion d’essere è il nostro reale contributo al pensiero umano".

Michael F. Atiyah (Medaglia Fields nel 1966 e vincitore del Premio Abel nel 2004) in: Siamo tutti matematici, Di Renzo Editore, Roma 2007.
 

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Una sicurezza nella vita

All’inizio, per me, il rifugio fu rappresentato dai numeri. Mio padre era un mago nel calcolo mentale e anch’io, già a sei anni, ero svelto con le cifre; e, ciò che più conta, ne ero innamorato. I numeri mi piacevano perché erano solidi, invarianti; rimanevano imperturbati in un mondo caotico. C’era, nei numeri e nelle loro relazioni, qualcosa di assoluto, di sicuro, che non poteva essere messo in discussione: qualcosa al di là del dubbio. (Anni dopo, quando lessi 1984, l’acme dell’orrore, il segno ultimo della disintegrazione e della resa di Winston, fu per me quando egli veniva costretto, sotto tortura, a negare che due più due fa quattro. E ancor più terribile era il fatto che alla fine egli avesse cominciato a dubitare di questo anche nella sua mente, che anche i numeri l’avessero abbandonato).

Mi piacevano in modo particolare i numeri primi, il fatto che fossero indivisibili, che non potessero essere scomposti, quel loro essere se stessi in modo inalienabile… I numeri primi erano le unità con cui costruire tutti gli altri, e dovevano avere un significato, almeno così credevo. Perché i numeri primi si presentavano in quella sequenza? Esisteva, nella loro distribuzione, un modello, una logica qualsiasi? Avevano forse un limite, o proseguivano all’infinito? Passavo ore e ore assorto nelle scomposizioni, a cercare numeri primi e a memorizzarli. Essi mi offrirono molte ore di gioco solitario, un completo assorbimento, durante le quali non avevo bisogno di nessuno.

Disegnai una griglia quadrata, dieci per dieci, dei primi cento numeri primi, ma non riuscii a riconoscere nella loro distribuzione alcun modello – nessuna logica. Feci allora tabelle più grandi, ampliando le mie griglie fino a portarle a venti per venti, o a trenta per trenta – ma ancora non mi riuscì di discernere regolarità evidenti. E tuttavia, ero convinto, che dovesse essercene una.

Oliver Sacks, Zio Tungsteno, Gli Adelphi, Milano, 2006.
 

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Economia di pensiero

La matematica è essenzialmente uno stato d'animo: una disposizione all'economia di pensiero.

Desmond Cory, L'incognita mortale.
 

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Eccezioni

Del resto camminiamo in un mondo dove tutti sono convinti che viviamo grazie all’ossigeno, mentre la verità è che siamo davvero vivi solo quando ci manca il respiro. Un mondo dove i media fabbricano "pensieri" che poi spacciano sotto il nome di opinione pubblica, dove il pensare periferico è diventato un mito metropolitano. Ci sono orchi, streghe e draghi che dominano su uomini che hanno abdicato alla fantasia, smettendo di sognare, diventando una massa di prigionieri che si credono liberi perché dotati di braccia troppo corte per toccare le pareti della cella dove sono rinchiusi.
Eppure ci sono delle eccezioni. La gente li chiama matti, pazzi, anormali, diversi, malati, strani, a volte disprezzandoli solo perché non capisce quello che pensano, quello che fanno, la loro malinconia e il loro modo di vivere. Hanno il cuore ubriaco e concepiscono solo un amore esagerato. Si nutrono della bellezza e credono ancora nel potere dei sogni, perché i sogni sono veri fino a quando non li abbandoni.

Giovanni Scafoglio, Babyblues.

 

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Riflessioni di uno studente

... il p​roblema che mi ha accompagnato per tutte queste verifiche è sempre stata la superficialità, che si mostra sempre sotto forma di trascuratezza e sconcentrazione. ​Questi sono i cosiddetti vizi che ostacolano lo studente a intraprendere uno studio completo e ponderato. ​Sono causati principalmente da uno stile di vita forse un po' troppo creativo e sregolato. Questa superficialità ti mette alla prova continuamente, facendo emergere quelle debolezze che nella vita reale sono velate da comportamenti astuti. ​Quasi mi educa, mi rende consapevole delle mie insicurezze e allo stesso tempo mi rafforza anche, poiché,​ una volta individuato il problema​,​ si ha una liberazione di energia incanalata su di essa allo scopo di risolverlo.

Stefan Nistor, 3°A ISIS Leonardo Da Vinci, Cologno Monzese (MI).

 

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Le dimostrazioni

Gli errori sono una parte importante e istruttiva della matematica, forse altrettanto importanti quanto le dimostrazioni. Le dimostrazioni rappresentano per la matematica quello che per la poesia rappresenta l'ortografia, o forse addirittura la calligrafia. I lavori matematici sono composti di dimostrazioni allo stesso modo in cui una poesia è composta di caratteri.

Vladimir Arnold, Polymathematics: is mathematics a single science or a set of arts? dal volume Arnold, Atiyah, Lax, Mazur (editors), Mathematics: frontiers and perspectives, a cura dell’IMU, ed AMS, 2000.

 

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Il lavoro del matematico

Il matematico si trova in possesso di uno strumento mirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulati per lungo andare di secoli dagli ingegni più acuti e dalle menti più sublimi che sian mai vissute. Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire il varco a molti oscuri misteri dell'Universo, ed un mezzo per riassumere in pochi simboli una sintesi che abbraccia e collega vasti e disparati risultati di scienze diverse. […] In certo modo esso [il rozzo ragionamento] rappresenta la greggia armatura su cui l'intiero edificio analitico è costruito. Ma quando noi vediamo il lavoro compiuto, ci troviamo in presenza di un monumento magnifico che è già stato spogliato di tutti i ponti e i sostegni. I puntelli che hanno servito a reggere la cupola in costruzione sono spariti, ed essa appare agli occhi meravigliati di chi la guarda come un miracolo di costruzione.
Non con soverchie speranze quindi, né avendo nell'animo illusioni spesso dannose, ma nemmeno con indifferenza, deve essere accolto ogni nuovo tentativo di sottoporre al calcolo fatti di qualsiasi specie.

Vito Volterra, Sui tentativi di applicazione delle matematiche alle scienze biologiche e sociali discorso inaugurale all'Università di Roma (1901) pubblicato in Saggi scientifici, N. Zanichelli editore, Bologna 1920 (rist. 1990) p. 4 e 9.

 

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Astuzia

Vedremmo, infine, sostanzialmente migliorare l'onestà media degli italiani, poiché uno dei grossi vantaggi offerti dall'intelligenza sviluppata attraverso lo studio scientifico è quello di far comprendere che è assai più redditizio alla lunga il lavorare tranquillamente, il non aver segreti e il mettere a disposizione degli altri le proprie capacità, che non il ricorrere alla furbizia, al servilismo, al sotterfugio e all'omertà, che impediscono lo svilupparsi di una società davvero civile.

Adriano Buzzati Traverso in Se gli italiani fossero intelligenti, 1961.

 

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L'errore

"Sbagliare non era più un infortunio vagamente comico, che ti guasta un esame o ti abbassa il voto: sbagliare era come quando si va su roccia, un misurarsi, un accorgersi, uno scalino in su, che ti rende più valente e più adatto."

Primo Levi in Il sistema periodico, Einaudi, 1994.

 

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L’essenza del matematico… e non solo

Occorre un equilibrio fra la disciplinata capacità di risolvere i problemi e l’applicazione del pensiero logico, da un lato, e dall’altro, la qualità di volteggiare liberamente nell’aria come un poeta, immaginando l’intero universo delle possibilità e sperando di riuscire a tornare, in qualche modo, sulla terra… Per questo credo che trovare dei buoni maestri, capaci di dosare entusiasmo e rigore, sia essenziale.

Michael F. Atiyah (Medaglia Fields nel 1966 e vincitore del Premio Abel nel 2004) in Siamo tutti matematici, Di Renzo Editore, Roma 2007, p.25.
 

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E tu che matematico sei?

È vero che i matematici hanno caratteri simili, diciamo una certa attitudine al pensiero logico-astratto, ma per il resto possono essere diversissimi tra loro. A un estremo abbiamo il matematico molto introverso, che studia da solo, legge, scrive, riesce bene nella sua professione, ma fino a un certo punto. Non si potrà essere buoni insegnanti, se si vive isolati, e in qualunque settore professionale ci si sentirà come gli assediati, perché vivere in società significa anche saper comunicare. Ci sono moltissimi matematici, invece, che sono persone socievoli, e sono la maggioranza.

Michael F. Atiyah (Medaglia Fields nel 1966 e vincitore del Premio Abel nel 2004) in Siamo tutti matematici, Di Renzo Editore, Roma 2007, p.15.
 

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Il metodo astratto

È naturalmente utilissimo associare significati e immagini mentali agli oggetti matematici… tali associazioni non sono sufficienti a dirci come procedere in contesti nuovi e poco familiari. Allora il metodo astratto diviene indispensabile.

Timothy Gowers in Matematica. Un’introduzione, Piccola Biblioteca Einaudi – Scienze, Torino 2004, pp.24-25.
 

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Il progresso

Nella maggior parte delle scienze ogni generazione abbatte quello che la precedente ha costruito e quello che uno stabilisce un altro lo disfa. Solo in matematica ogni generazione aggiunge una nuova storia alla vecchia struttura.

Hermann Hankel in Euler's gem di D. Richeson, Princeton University Press, 2008, p. 119.
 

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Una scuola assurda

Nel rapporto CENSIS del 1974 si poteva leggere: "È assurdo che la scuola italiana persegua di fatto un processo educativo che tende a estraniare la maggior parte degli adolescenti dalla pratica del lavoro manuale", una pratica preziosa non solo in sé ma per quello che dà di stimoli effettivi allo sviluppo di capacità intellettuali.

Tullio De Mauro in La cultura degli italiani, a cura di Francesco Erbani, Laterza, Roma-Bari 2010, p. 13.
 

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Fiducia illimitata!

Un primo aspetto che è chiaro nell'opera di Fr. Papy è la sua fiducia illimitata nelle capacità dei bambini, soprattutto nelle capacità creative, fantastiche, ma anche in quelle razionali. Nessuno fino ad ora ha osato realizzare un programma così ambizioso per l'insegnamento della matematica nella scuola elementare. Argomenti che sembravano tabù anche per la scuola superiore vengono presentati - naturalmente in maniera opportuna, ma sempre estremamente precisa - ai bambini che (è una costatazione molte volte verificata) li capiscono e li assimilano.

Da La matematica di Madame Papy in: L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 36A n. 2, marzo 2013, p. 188.
 

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Matematica e fisica

Questa mancanza di comprensione delle interrelazioni fra diversi campi della matematica ha origine dal disastroso divorzio fra matematica e fisica che è avvenuto a metà del ventesimo secolo, e dalla conseguente scomparsa della geometria dalla formazione matematica.

Articolo: Arnold, Polymathematics: is mathematics a single science or a set of arts?
Volume: Arnold, Atiyah, Lax, Mazur (editors), Mathematics: frontiers and perspectives, a cura dell’IMU, ed AMS, 2000.
 

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La matematica è un'attività collettiva

Nel processo di sviluppo della matematica, vengono inventate nuove tecniche che divengono presto indispensabili per rispondere a certi tipi di domande: ogni generazione di matematici si pone sulle spalle della precedente, risolvendo problemi che un tempo avrebbe considerato fuori dalla sua portata. Se cercate di lavorare isolati dalla comunità matematica, dovete produrre queste tecniche da soli, e ciò vi pone in una situazione di notevole svantaggio.

Timothy Gowers (Medaglia Fields), Matematica. Un'introduzione, Piccola Biblioteca Einaudi – Scienze, Torino, 2004, p. 155.
 

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La storia della scienza

Era evidente che la storia della scienza era tutt’altro che una serie logica e conseguente di eventi; invece, saltava qua e là, si divideva, convergeva, divergeva, partiva per la tangente, si ripeteva, si inceppava e si lasciava chiudere negli angoli. C’erano pensatori che prestavano poca attenzione alla storia (e può darsi che numerosi ricercatori originali se la siano cavata molto meglio proprio per il fatto di non aver conosciuto i propri precursori…)

Oliver Sacks, Zio Tungsteno, Gli Adelphi, Milano, 2006.
 

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Una seconda vista

Secondo ciò che il prof. Mittag-Leffler riferisce, [Sonja Kovalevsky] non aveva pensato di abbandonare per sempre gli studi scientifici. Nell’ultima conversazione che ebbe con lui, il giorno prima della sua breve malattia, gli avea comunicato il disegno di un nuovo lavoro matematico, che credea sarebbe diventato il più importante che avesse mai scritto. Secondo il suo solito modo, ritenendosi dotata di una seconda vista sulle cose intellettuali, disse di avere indovinata la soluzione di certi enigmi profondi, aprendo così una nuova strada nei campi del pensiero.

Anna Carlotta Leffler in "Sonja Kovalevsky", Annali di Matematica, vol. XIX, 1891, p. 210.
 

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Matematici non si nasce!

È un'operazione intellettuale che impari da bambino: trasformare il mondo tridimensionale in bidimensionale. Non è facile, diventa un modo di leggere la realtà, vedi una persona e diventa astratta, linee e pieghe.

Sergio Staino a Giovanna Zucconi in La Stampa, 3 settembre 2011, p. XI.
 

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Matematica: il pane e le rose?

La matematica è un'ostentazione della pura ratio; uno dei pochi lussi oggi ancora possibili. Anche i filologi si dedicano spesso ad attività nelle quali essi per primi non intravedono il minimo utile, e i collezionisti di francobolli o di cravatte ancora peggio. Ma questi sono passatempi inoffensivi, ben lontani dalle cose serie della vita. La matematica, invece, proprio in esse abbraccia alcune delle avventure più appassionanti e incisive dell'esistenza umana. Alleghiamo un piccolo esempio. Si può dire che in pratica tutta la nostra vita dipenda dai risultati di questa scienza, ad essa ormai piuttosto indifferenti. Grazie alla matematica cuociamo il nostro pane, costruiamo le nostre case e facciamo andare avanti i nostri mezzi di locomozione. Prescindendo dai pochi mobili, dagli abiti e dalle calzature fatte a mano, nonché dai bambini, tutto ciò che abbiamo è ottenuto attraverso calcoli matematici. Tutto ciò che esiste intorno a noi, che si muove, corre o se ne sta immobile, non soltanto sarebbe incomprensibile senza la matematica ma è effettivamente nato dalla matematica, e ne è sostenuto nella realtà concreta della propria esistenza.

Robert Musil in: L'uomo matematico, Racconti matematici, Claudio Bartocci (a cura di), Einaudi, Torino, 2006.
 

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L'importanza della dimostrazione

"Noi riteniamo falsa una proposizione, se vi si può trovare un caso d'eccezione; e che non si possa considerare come ottenuto un risultato, finché esso non è rigorosamente provato, ancorché non si conoscano casi di eccezione. Così la proposizione conosciuta col nome di ultimo teorema di Fermat, della quale non si conoscono eccezioni, ma nemmeno una dimostrazione rigorosa (le dimostrazioni non rigorose sono moltissime), non è al giorno d'oggi per i matematici un risultato, ma l'enunciato di un problema che attende soluzione."

Giuseppe Peano, Osservazioni del direttore sull'articolo precedente, Rivista di Matematiche, 1891, vol. 1, pp. 66-69.

L'articolo a cui fa riferimento il titolo è C. Segre, Su alcuni indirizzi nelle investigazioni geometriche. Indicazioni dirette ai miei studenti.
 

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La matematica alla base della libertà

Libertà è la libertà di dire che due più due fa quattro. Garantito ciò, tutto il resto ne consegue naturalmente.

G. Orwell, 1984, Oscar Mondadori, 2010 (ristampa)
 

La semplicità della geometria

"... la geometria era una materia nuova per la quale non ero molto portato e il doverla studiare in inglese me la rendeva ancora più difficile. [...] Quando, con grande sforzo, arrivai al tredicesimo teorema di Euclide, improvvisamente capii quanto fosse estremamente semplice la materia: un soggetto che imponeva puramente e semplicemente di fare uso delle proprie capacità di ragionamento non poteva essere difficile. Da quella volta ho trovato la geometria facile ed interessante."

Studiare matematica e andare in bicicletta

La capacità di studiare, comprendere e impadronirsi degli argomenti in ambito matematico è simile, sotto certi aspetti, al saper nuotare o andare in bicicletta, due abilità che non possono essere raggiunte stando fermi. C'è un metodo per conquistare queste abilità, e per impararlo è necessaria una forte motivazione. Forse una differenza tra queste attività e la matematica sta nel fatto che è raro che i bambini incontrino una disciplina oppressiva e autoritaria quando si tratta di imparare ad andare in bicicletta.

Siobhan Roberts in: Il re dello spazio infinito. Storia dell'uomo che salvò la geometria (citazione di H.S.M. Coxeter),  Rizzoli Editore, 2006
 

Un pregiudizio o una domanda sensata?

Odiava tutto: la biblioteca con i libri pieni di spiegazioni sulla vita, la scuola che l'aveva costretta a passare notti in bianco per studiare l'algebra, anche se non conosceva nessuno - eccetto i professori e i matematici - che avesse bisogno dell'algebra per essere felice. Perché le avevano fatto studiare l'algebra, o la geometria, o quella montagna di cose assolutamente inutili?

Paulo Coelho in: Veronica decide di morire, Bompiani, Milano, 1998
 

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