La matematica delle scale musicali - parte 2

La costruzione della scala pitagorica

Pitagora in un particolare della "Scuola di Atene" di Raffaello

Come fece Pitagora a costruire la sua scala musicale basandosi sugli intervalli di ottava e di quinta? Ricordiamo il procedimento dell'etichettatura delle corde descritto nel precedente articolo: associamo il numero 1 alle corde di una certa lunghezza di riferimento, il numero 2 alle corde lunghe la metà, il numero 3 a quelle lunghe un terzo, e così via. Abbiamo anche visto che l'ottava è un intervallo tra due note etichettate con numeri che stanno tra loro in un rapporto 2:1, per esempio una corda di lunghezza base e un'altra lunga la metà. L'intervallo di quinta è invece prodotto da due corde i cui numeri d'etichetta stanno tra loro in un rapporto di 3:2, per esempio una corda lunga la metà della misura di riferimento e un'altra lunga un terzo.

Il “gioco pitagorico” nel quale ora ci avventuriamo ha uno scopo ben preciso: associare a ogni nota, oltre al numero di etichetta, anche un nome. Grazie a questa operazione riusciremo a costruire la scala pitagorica. Si parte con la nota alla quale abbiamo convenzionalmente associato il numero 1. Saltando avanti di un'ottava, raggiungiamo la nota etichettata con il numero 2. Andando ancora avanti, troviamo le note 4, 8, 16, e così via. Queste note, come abbiamo visto, suonano “simili” all'orecchio, e per questo motivo attribuiamo loro lo stesso nome, per esempio do. Per distinguere una nota dall'altra, comunque, usiamo numeri crescenti come pedici: do₁, do₂, do₃, eccetera. Se invece, sempre partendo dal do₁, andiamo indietro di un'ottava, otteniamo il do₀, etichettato con il numero 1:2 = 0,5.

Ora ripartiamo sempre dal do₁, e facciamo ancora dei salti in avanti: questa volta, però, lunghi non un'ottava, ma una quinta. Al primo salto troviamo la nota associata al numero 3:2 = 1,5. Non essendo un do, le diamo un nuovo nome convenzionale: sol. Dato che 1,5 è compreso tra 1 e 2, si tratta di una nota più alta del do₁ ma più bassa del do₂. Decidiamo di attribuirle il pedice ₁, che sta a significare che la nota si trova nella stessa ottava alla quale appartiene anche il do₁. Quindi sarà un sol₁. Vedremo che la scala pitagorica che costruiremo andrà a “riempire” di note questa ottava compresa tra il do₁ e il do₂. Ripartendo dal do₁, andiamo ora indietro di una quinta, raggiungendo la nota legata al numero 2:3 = 0,6666, alla quale attribuiamo il nome fa. Purtroppo il numero 0,6666 è compreso tra 0,5 e 1, cioè tra il do₀ e il do₁, quindi si tratta del fa₀, che sta fuori dal nostro intervallo di riferimento (compreso, come dicevamo, tra il do₁ e il do₂). Risalendo di un'ottava, otteniamo la nota etichettata con il numero 4:3 = 1,3333, che appartiene all'ottava contrassegnata dal pedice ₁ e che quindi merita il nome fa₁.

La situazione della nostra ottava è fin qui la seguente:

• do₁ (etichetta 1)
• ...
• fa₁ (etichetta 4:3 = 1,3333)
• …
• sol₁ (etichetta 3:2 = 1,5)
• …
• do₂ (etichetta 2:1 = 2) 

Non sappiamo ancora quali altre note raggiungeremo con il nostro gioco basato sui salti di quinta: ecco il motivo dei puntini di sospensione tra una nota e l'altra. Ripartiamo ora dal sol₁: andando avanti di una quinta, arriviamo alla nota contraddistinta dal numero (3:2) * (3:2) = 9:4 = 2,25, che è oltre il do₂, quindi fuori dall'ottava di riferimento. Da qui, abbassandoci di un'ottava, troviamo la nota con etichetta 9:8 = 1,125, alla quale diamo il nome re: precisamente un re₁.

Avanziamo ancora di una quinta, incontrando la nota con etichetta (9:8) * (3:2) = 27:16 = 1,6875, che chiameremo la: appartenendo alla “nostra” ottava, il suo nome completo è la₁.

Un ulteriore salto di quinta, ed ecco la nota associata al numero (27:16) * (3:2) = 81:32 = 2,5312, che però è troppo in alto: abbassiamoci di un'ottava, e troviamo la nota 81:64 = 1,2656, alla quale attribuiamo il nome mi, nella fattispecie un mi₁.

Con un nuovo intervallo di quinta balziamo alla nota contrassegnata dal numero (81:64) * (3:2) = 243:128 = 1,8984, che chiameremo si: un si₁, dato che siamo ancora nella nostra ottava dal pedice ₁.

Ordinando le note fin qui raggiunte, si ottiene la scala pitagorica:

• do₁ (etichetta 1)
• re₁ (etichetta 9:8 = 1,125) 
• mi₁ (etichetta 81:64 = 1,2656)
• fa₁ (etichetta 4:3 = 1,3333)
• sol₁ (etichetta 3:2 = 1,5)
• la₁ (etichetta 27:16 = 1,6875)
• si₁ (etichetta 243:128 = 1,8984)
• do₂ (etichetta 2:1 = 2) 

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Nella prossima puntata cercheremo di capire meglio la struttura matematica di questa scala, comprendendo anche l'origine dei termini “quinta” e “ottava”, e scoprendo anche pregi e difetti della memorabile impresa di Pitagora.

Paolo Alessandrini