La matematica delle scale musicali - parte 3

Tono, limma e... logaritmi!

I pitagorici in un dipinto di Fyodor Bronnikov

Nelle prime due puntate (parte 1 e parte 2) di questa serie abbiamo visto come Pitagora riuscì a costruire una scala musicale utilizzando gli intervalli di ottava e di quinta. La struttura della scala è determinata dagli intervalli esistenti tra ogni nota e la nota di riferimento (per esempio il do), e l'ampiezza di ciascun intervallo è espressa come rapporto tra le frequenze delle due note. Per esempio, tra do e re vi è un rapporto pari a 9:8, il che significa che il re è 1,125 volte più acuto del do. Alcuni degli intervalli corrispondono a rapporti numerici semplici, come 4:3 nell'intervallo tra do e fa, 3:2 nell'intervallo tra do e sol, e 2:1 nell'intervallo tra do e do all'ottava superiore. Altri degli intervalli ottenuti sono invece associati a rapporti più “brutti”, in cui cioè è inevitabile ricorrere a numeratori e denominatori più grandi: per esempio l'intervallo tra do e mi corrisponde a 81:64, e quello tra do e si addirittura a 243:128.

L'interesse di questa distinzione tra tipi di intervalli non è soltanto aritmetico, ma anche, per così dire, psicologico: Pitagora si accorse infatti che gli intervalli legati a rapporti semplici “suonano meglio insieme”. Se ora consideriamo gli intervalli di questo tipo, e contiamo quante note della scala vi sono comprese, possiamo finalmente capire l'origine dei termini quinta e ottava: semplicemente sono intervalli che separano rispettivamente 5 e 8 note della scala. Analogamente, l'intervallo tra do e fa è detto di quarta, e nella scala pitagorica è considerato consonante, cioè piacevole all'orecchio. Invece l'intervallo tra do e mi e quello tra do e si vengono chiamati rispettivamente di terza e di settima, e risultano poco armoniosi in quanto corrispondenti a rapporti numerici non semplici.

Ma un altro interessante pattern matematico emerge dalla scala del filosofo di Samo: considerando gli intervalli tra ogni nota e quella immediatamente successiva, troviamo la medesima distanza elementare, pari al rapporto 9:8, tra il do e il re, tra il re e il mi, tra il fa e il sol, tra il sol e il la, e tra il la e il si. Possiamo bene immaginare la felicità di Pitagora nello scoprire questa regolarità, ma possiamo figurarci anche il suo disappunto nel rendersi conto che una distanza diversa, corrispondente al rapporto 256:243, separa il mi dal fa e il si dal do all'ottava superiore. Non solo, ma le due distanze, che chiamiamo rispettivamente tono e limma, non risultano reciprocamente commensurabili: la seconda è infatti pari a circa il 44,25% del primo. Detto in altro modo, non esiste un'unità elementare nella quale possa essere ripartita l'ottava e che risulti sottomultiplo del tono e anche della limma. Come scopriremo nelle prossime puntate, questo inconveniente della scala pitagorica fu alla base di alcuni problemi nella pratica strumentale e diede il via, in epoche successive, a una laboriosa ricerca per il suo superamento, che arrivò con l’adozione del sistema temperato. Ma di questo parleremo approfonditamente in seguito.

Tornando a tono e limma, un'unità elementare può comunque essere convenzionalmente definita, anche se dobbiamo rassegnarci all'idea che entrambe le lunghezze rispetto a tale unità saranno per forza numeri non interi. Nel 1885 il matematico inglese Alexander Ellis ebbe l'idea di adottare come unità elementare il cent, pari alla milleduecentesima parte di un'ottava, stabilendo al contempo che un intervallo associato a un certo rapporto R corrisponderà a 1200 × log₂R cent.

Il motivo di questa definizione logaritmica è presto detto. Se dobbiamo misurare quanto è ampio l'intervallo che separa il re dal fa, dobbiamo sommare tra loro un tono (re-mi) e una limma (mi-fa), cioè eseguire la moltiplicazione tra i due rapporti corrispondenti: (9:8) × (256:243) ≈ 1,185. Come ben sa chi ha dimestichezza con i logaritmi, questo strumento matematico è stato inventato per trasformare moltiplicazioni in addizioni, rendendo più agevoli molti calcoli. Ecco che sommare un tono (pari a 1200 × log₂(9/8) ≈ 203,91 cent) a una limma (pari a 1200 × log₂(256:243) ≈ 90,22 cent) si traduce in una semplice addizione: 203,91 + 90,22 = 294,13 cent.

I 1200 cent dell'ottava vengono ripartiti come indicato nella seguente tabellina: 

La definizione logaritmica degli intervalli musicali, oltre che più comoda per i calcoli, è anche più coerente con il modo in cui il nostro orecchio avverte le altezze sonore (così come logaritmica è anche la nostra percezione delle intensità dei suoni).

Paolo Alessandrini

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