La matematica delle scale musicali - parte 4

Un cerchio che non si chiude

La Tetractys

Nelle precedenti uscite di questa serie di articoli (parte 1, parte 2, parte 3) abbiamo visto come nella scala pitagorica emergano alcuni intervalli caratterizzati da rapporti numerici semplici, in particolare l'ottava (legato al rapporto 2:1), la quinta (3:2) e la quarta (4:3).

I numeri presenti in questi rapporti sono esattamente i primi quattro numeri naturali. Questo quartetto, detto "tetraktys", era considerato sacro dai pitagorici, in quanto associato ai quattro elementi fondamentali, nell'ordine il Fuoco, l'Aria, l'Acqua e la Terra.

La tetraktys gode di alcune proprietà che erano particolarmente apprezzate dai pitagorici.

Ad esempio, i numeri costitutivi formano la cosiddetta "somma teosofica" 1+2+3+4=10, il che rimanda all'importanza del 10 come base del sistema di numerazione e, perché no, alla tavola pitagorica.

I pitagorici attribuivano grande importanza a pattern come questi. Analogamente, la scoperta di "difetti" era per loro motivo di profondo scoraggiamento. Abbiamo visto nel precedente articolo un primo, evidente problema della scala pitagorica: l'assenza di un'unità elementare che possa suddividere l'ottava e che sia sottomultiplo al tempo stesso del tono e della limma. Due limme, infatti, equivalgono a circa 180,44 cent, mentre un tono è pari a circa 203,91 cent. La differenza, detta comma pitagorico, equivale a circa 23,47 cent, e un orecchio particolarmente sensibile riesce ad apprezzarla.

L'incommensurabilità tra limma e tono si rifletteva sull'incommensurabilità tra quinta e ottava. Immaginiamo di partire da una nota iniziale, diciamo il do, e saliamo di 12 quinte: ci troveremo a 12 × 701,95 = 8423,4 cent sopra il do di partenza. Se ora scendiamo di 7 ottave, cioè di 7 × 1200 = 8400 cent, non riusciamo a tornare esattamente al do, ma atterriamo 23,4 cent sopra: di nuovo il maledetto comma pitagorico!

Il problema del comma impediva quindi di chiudere il "cerchio delle quinte".

Potremmo pensare di risolvere il problema usando un numero più alto di quinte, e quindi di ottave? Ad esempio, un intervallo di 53 quinte è molto vicino a un intervallo di 31 ottave, ma rimane sempre un errore, in questo caso pari a circa 3,35 cent.

Non è difficile dimostrare che, qualunque sia il numero di quinte e di ottave, il cerchio non si potrà mai chiudere. Infatti, non esistono due numeri interi e tali per cui si abbia . Se nell'equazione precedente scegliamo , e risolviamo in , otteniamo , che è evidentemente un numero irrazionale. Ecco, quindi, affacciarsi anche sulla scala pitagorica l'ombra sinistra dell'esistenza dei numeri irrazionali, grande incubo del grande filosofo e matematico.

Più si analizza la scala musicale di Pitagora, e più ci si imbatte nell'inconveniente del comma. Come abbiamo visto, la scala viene costruita partendo dal do, salendo di quinta in quinta e scendendo di un'ottava quando dobbiamo rientrare nell'intervallo  considerato (ad esempio tra il do₁ e il do₂). In questo modo si ottengono, uno dopo l'altro, i suoni corrispondenti alle note fa, do, sol, re, la, mi e si, che compongono la scala pitagorica vera e propria.

Il gioco può tuttavia proseguire oltre, sempre con le consuete salite di quinta e discese di ottava. Partendo dal si, raggiungiamo le note che i musicisti sono soliti accompagnare con il segno diesis (#): nell'ordine fa#, do#, sol#, re#, la#, mi#, si#. In modo analogo, partendo dal do, si ottengono successivamente le note alterate dal bemolle (b): sib, mib, lab, reb, solb, dob, fab.

Alle sette note della scala pitagorica si aggiungono così altre 14 note, diciamo così, "extra". Ogni nota della scala è accompagnata dalla sua versione col diesis, che si trova circa 113,73 cent più in alto, e dalla sua versione col bemolle, che si trova più in basso, alla stessa distanza. Questo intervallo è pari a una limma più un comma pitagorico. Invece, la distanza tra una nota col diesis e la nota successiva sulla scala, così come la distanza all'indietro tra una nota col bemolle e la nota precedente nella scala pitagorica, è pari a circa 90,22 cent, ovvero una limma.

La conseguenza nefasta di tutto questo è che i due suoni alterati compresi tra due note della scala pitagorica non sono tra di loro uguali. Ad esempio, il fa# corrisponde a circa 611,77 cent, mentre il solb a circa 588,22 cent. La distanza è, manco a dirlo, pari a un comma pitagorico.

Per eseguire brani musicali basati su una simile scala formata da 21 note distinte servirebbero strumenti molto complicati. Nel Cinquecento furono veramente costruite alcune tastiere "pitagoriche", con i tasti neri "sdoppiati", ma, com’è facile immaginare, le difficoltà legate alla fabbricazione e anche all'intonazione di simili strumenti imposero ben presto la necessità di escogitare qualcosa di più semplice. Lo scopriremo nel prossimo articolo.

Paolo Alessandrini