Group theory live performance

Questo video di Jürgen Richter-Gebert (e aiutanti!) mostra alcuni dei modi in cui si possono disporre delle piastrelle per creare disegni simmetrici. Le piastrelle sono tutte uguali fra loro e hanno un disegno non simmetrico, come potete vedere a sinistra.

Ruotando alcune delle piastrelle il disegno cambia. Riuscite a trovare alcune differenze tra le immagini seguenti, tratte dal video?

Vi dò qualche suggerimento: immaginate di estendere il disegno su tutto il piano e ottenere un mosaico infinito. È possibile ruotare il mosaico attorno a un punto in modo da sovrapporlo idealmente a quello di partenza? Con quali angoli di rotazione funziona?

Se la piastrella fosse trasparente, potremmo anche rovesciarla (davanti-dietro). In questo caso potremmo creare dei mosaici con degli assi di simmetria, cioè rette su cui si possa appoggiare uno specchio per vedere lo stesso mosaico di partenza. Riuscite a immaginare un mosaico di questo tipo?

Le possibilità di creare mosaici simmetrici (cioè con delle rotazioni o degli assi di simmetrica) possono sembrare tantissime, ma in realtà sono solo 17. Questo risultato è stato ottenuto dai matematici usando metodi di teoria dei gruppi, da cui il titolo del MathLapse. Se volete vedere tutti i 17 cosiddetti gruppi di simmetria dei mosaici potete consultare questa pagina che contiene una breve descrizione e delle immagini di esempio. Per saperne di più potete invece consultare la pagina di Wikipedia in inglese o seguire il percorso Tassellazioni nel piano in questo sito.

Ma se vi piacciono le sfide provate a trovare tutti i tipi di mosaici possibili prima di consultare la soluzione, magari sfidando i vostri amici!

ED