Costruzioni con pioli e funicelle

Disegnare un'ellisse è abbastanza semplice, usando il metodo del giardiniere: bastano due pioli e una funicella. Ma per le altre coniche, cioè parabola e iperbole? Serve uno strumento in più (squadra o righello), come mostra questo video di Atractor, uno dei vincitori del festival MathLapse di Imaginary.

Le coniche si studiano a scuola perché sono tra le più semplici curve nel piano, essendo definite da equazioni di secondo grado, e perchè permettono di collegare geometria e algebra. Il video mostra una proprietà geometrica che caratterizza ognuna delle curve.

Per disegnare un’ellisse si può usare il metodo del giardiniere: a due pioli fissi (i fuochi) si legano le estremità di una funicella che sia più lunga della distanza tra i pioli. Con il gessetto si tende la funicella; facendo scorrere il gessetto sulla lavagna in modo che la funicella sia sempre tesa si ottiene la traccia dell'ellisse. Questo perchè l'ellisse è costituita dai punti del piano per cui è costante la somma delle distanze dai due pioli, lunghezza che corrisponde alla lunghezza della funicella.

La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice. Nel video la funicella ha lunghezza costante, un estremo fissato nel fuoco e uno su una retta orizzontale, parallela alla direttrice (che non viene mostrata nel video, ma è disegnata in blu qui sotto).

La retta orizzontale viene percorsa dal vertice in alto della squadra. La squadra si muove orizzontalmente e permette di mantenere una parte di funicella perpendicolare alla direttrice. In questo modo i due segmenti disegnati in rosso hanno la stessa lunghezza, dato che la lunghezza della corda, data da un segmento rosso più il segmento giallo verticale, è costante.

Ma la parabola è infinita: come si può prolungarla? Suggerimento: prova con una squadra più grande, cioè con altre rette orizzontali più distanti dal fuoco…

E l’iperbole? Essa è il luogo dei punti per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi: nel disegno qui sotto è costante la differenza tra la lunghezza del segmento rosso e del segmento blu.

In altre parole è costante la somma delle distanze tra ogni punto su un ramo di iperbole e il fuoco corrispondente (segmento blu) e tra quel punto e una circonferenza con centro l’altro fuoco (segmento giallo lungo il righello). Il righello nel video è il raggio della circonferenza.

Anche i rami di iperbole possono essere prolungati indefinitamente, usando righelli e funicelle sempre più lunghi.

ED