Profili dalla terza dimensione - Il teorema di Monge

Questo video di Pavel Boytchev è una visualizzazione del teorema di Monge. Il teorema afferma che, date tre circonferenze nel piano (di cui nessuna contenuta in un'altra), i tre punti definiti dalle intersezioni delle due rette tangenti a ogni coppia di sfere sono allineati.

Un aspetto sorprendente di questo teorema è che, pur essendo un risultato per niente immediato di geometria piana, esso ha una dimostrazione più semplice se consideriamo la situazione descritta non nel piano, ma nello spazio!

Il MathLapse presenta una giustificazione tridimensionale del teorema: immaginiamo tre sfere di raggio uguale, poste a distanza diversa da noi, e tre tubi di lunghezza infinita con lo stesso raggio delle sfere, messi in modo che contengano ognuno una coppia di sfere (i tubi si intersecano!). Se guardiamo questa scena, vediamo che i tubi convergono verso punti all'orizzonte, come i binari di una ferrovia. La nostra intuizione dice che l'orizzonte è uno solo ed è una linea retta: non importa come sono messi i tubi, essi svaniranno sempre verso l'orizzonte (perché le sfere sono a distanze diverse da noi).

Ora dimentichiamo ombre e colori della tridimensionalità e guardiamo solo ai profili nell'immagine. Le tre sfere diventano tre circonferenze, i tre tubi diventano le tangenti alle coppie di circonferenze, e l'orizzonte è la retta verso cui svaniscono i tubi.

Possiamo riscrivere questa visualizzazione come una vera e propria dimostrazione. Prendiamo le tre sfere di cui le circonferenze date sono i cerchi massimi (cioè le sfere con gli stessi centri e raggi delle circonferenze) e consideriamo i tre coni circoscritti alle coppie di sfere. L'intersezione dei coni con il piano in cui giacciono le circonferenze date consiste proprio nelle tangenti comuni alle coppie di circonferenze.
Ora prendiamo un piano tangente esternamente a tutte e tre le sfere. Questo piano sarà tangente esternamente anche ai tre coni e passerà quindi per i tre vertici dei coni, che sono i punti che vogliamo dimostrare essere allineati. Ma questi tre vertici sono pure nel piano dei tre centri delle sfere, dunque si trovano nell’intersezione di due piani diversi, che è proprio una linea retta.

Un altro video che mostra lo stesso teorema si può trovare su etudes.ru.

ED