Una dimensione in più

Il video mostra come ottenere una sfera annodata nello spazio a quattro dimensioni partendo da un oggetto tridimensionale e facendolo ruotare in 4D.

Per capire il processo, iniziamo costruendo un oggetto 2D, un cd, fingendo che sia veramente 2D, cioè che lo spessore sia nullo. Partiamo da uno spazio 1D, la semiretta blu: su di essa coloriamo alcuni intervalli. Ora se ruotiamo la semiretta attorno alla sua origine (il punto bianco) e teniamo traccia delle immagini della semiretta durante il movimento, otteniamo un oggetto 2D, il cd. 

Proviamo ora con un esempio più interessante aggiungendo una dimensione: costruiamo un vaso 3D a partire da un profilo 2D. Il profilo è disegnato nel semipiano blu, che ruota intorno al suo bordo, la retta bianca. Possiamo creare anche un'immagine 2D del vaso usando i colori per codificare la terza coordinata: "dimentichiamo" la coordinata y e la rimpiazziamo colorando di verde i punti a minore altezza, di giallo quelli ad altezza intermedia e di rosso quelli ad altezza maggiore. Questo processo è molto simile a quello che succede in una carta geografica, in cui le pianure sono colorate di verde, le colline di giallo e le montagne di rosso. Anche i mari sono colorati in modo analogo, con diverse intensità di blu a seconda della profondità.

Ora se disegnamo il vaso proiettato nel piano xz, esso è un disco, ma tramite i colori possiamo capire che l'oggetto è 3D e siamo in grado di ricostruirlo. In questa proiezione il semipiano blu appare come una semiretta e la retta bianca appare come un punto: la costruzione del vaso è molto simile a quella del cd, ma abbiamo aggiunto i colori che ce la fanno interpretare in 3D.

Siamo ora pronti per il salto nello spazio 4D! Partiamo da uno spazio 3D e prendiamo il semispazio blu () che ha per bordo il piano bianco (x=0). Nel semispazio disegnamo un arco annodato avente gli estremi sul piano. Coloriamo i suoi punti in base alla coordinata y. Se ora proiettiamo sul piano y=0 (riscalando man mano la coordinata spaziale y ma lasciando inalterati i colori), vediamo un semipiano blu, delimitato da una retta bianca; nel semipiano è disegnato l'arco annodato, con delle intersezioni apparenti. Queste sono intersezioni solo nella proiezione, e non nell'arco che vive in 3D, perché nei punti di intersezione l'arco ha colori diversi, cioè valori diversi nella coordinata y.

Ora possiamo aggiungere una quarta coordinata, w, e ruotare il semispazio blu attorno alla retta bianca. Visualizzeremo un procedimento analogo a quello usato per ottenere il vaso in 3D, ma i colori ci permettaranno di interpretare l'oggetto in 4D.

La superficie che otteniamo è quindi una sfera annodata in 4D! Sfera (in senso topologico), perché è ottenuta dalla traccia lasciata da un arco in rotazione attorno a un asse passante per i suoi estremi, proprio come se ruotassimo una semicirconferenza o un meridiano per ottenere il globo terrestre. Annodata, perché... qui il discorso si fa lungo! Non è banale dimostrare che un oggetto è annodato! Un lungo film in inglese che spiega anche la tricolorabilità, uno dei metodi per dimostrare che nodi e superfici sono effettivamente annodate, si può vedere su youtube.